(Udesc) Para que a equação x² + y² - 4x + 8y + k = 0 represente uma circunferência, devemos ter:

Resolução: Toda circunferência tem a seguinte equação reduzida: (x - a)² + (y - b)² = R²

Onde:

(a, b) → centro da cincunferência

R → raio da circunferência

Teremos que transformar a equação geral dada, de modo que sua forma reduzida represente uma circunferência:

X² + y² - 4x + 8y + k = 0

x² - 4x + 4 - 4 + y² + 8y + 16 - 16 + k = 0

⇒ somar e subtrair o 4 e o 16 não altera a equação.

(x - 2)² - 4 + (y + 4)² - 16 + k = 0

(x - 2)² + (y + 4)² - 20 + k = 0

(x - 2)² + (y + 4)² = 20 - k

O centro da circunferência será o ponto (2, -4)

O valor deve ser o raio da circunferência ao quadrado. Portanto, não pode ser nulo, nem negativo. Logo:

20 - k > 0

k < 20

R+ (y + 4)² = 20 - k

R = √20-k