(Udesc) Para que a equação x² + y² - 4x + 8y + k = 0 represente uma circunferência, devemos ter:
7. (Udesc) Para que a equação x² + y² - 4x + 8y + k = 0 represente uma circunferência, devemos ter:
- K < 20
- K > 13
- K < 12
- K > 12
- K < 10
Resposta: A
Resolução: Toda circunferência tem a seguinte equação reduzida: (x - a)² + (y - b)² = R²
Onde:
(a, b) → centro da cincunferência
R → raio da circunferência
Teremos que transformar a equação geral dada, de modo que sua forma reduzida represente uma circunferência:
X² + y² - 4x + 8y + k = 0
x² - 4x + 4 - 4 + y² + 8y + 16 - 16 + k = 0
⇒ somar e subtrair o 4 e o 16 não altera a equação.
(x - 2)² - 4 + (y + 4)² - 16 + k = 0
(x - 2)² + (y + 4)² - 20 + k = 0
(x - 2)² + (y + 4)² = 20 - k
O centro da circunferência será o ponto (2, -4)
O valor deve ser o raio da circunferência ao quadrado. Portanto, não pode ser nulo, nem negativo. Logo:
20 - k > 0
k < 20
R+ (y + 4)² = 20 - k
R = √20-k