(UPF) A quantidade de soluções que a equação trigonométrica sen⁴ x - cos⁴ x =

Resolução: A quantidade de soluções que a equação trigonométrica sen⁴(x) - cos⁴(x) = 1/2 admite no intervalo [0,3π] é 6.

A equação trigonométrica é sen⁴(x) - cos⁴(x) = 1/2 e o intervalo é [0,3π].

Perceba que podemos escrever a equação trigonométrica da seguinte forma:

(sen²(x) + cos²(x))(sen²(x) - cos²(x)) = 1/2.

Da relação fundamental da trigonometria, temos que sen²(x) + cos²(x) = 1. Logo,

sen²(x) - cos²(x) = 1/2.

Multiplicando a equação por -1:

cos²(x) - sen²(x) = -1/2

cos(2x) = -1/2.

Vamos considerar que k = 2x.

Assim, cos(k) = -1/2.

Pelo círculo trigonométrico, temos três valores para k: 2π/3, 4π/3 e 8π/3.

Então,

2x = 2π/3 ∴ x = π/3

2x = 4π/3 ∴ x = 2π/3

2x = 8π/3 ∴ x = 4π/3.

Além disso, teremos: 5π/3, 7π/3 e 8π/3.